Suite géométrique de matrices colonnes (2) - Corrigé

Énoncé

Soit la matrice \(A=\begin{pmatrix} 1&2\\0&-1 \end{pmatrix}\) . On définit la suite de matrices colonnes  \((U_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  par :  \(U_0=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}\)  et, pour tout  \(n \in \mathbb{N}, U_{n+1}=AU_n\) .

1. Calculer les 3 premiers termes de cette suite.

2. Que remarque-t-on ? Que peut-on en déduire pour  \(U_n\)  ?

3. Calculer  \(A^2\) . Expliquer pourquoi on pouvait s'attendre au résultat de la question 2.

Solution

1.  \(U_0=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}\)  est donné.
\(U_1=AU_0=\begin{pmatrix} 5\\-2 \end{pmatrix}\)  

\(U_2=AU_1=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}\)

2. On remarque que  \(U_2=U_0\) . Cette suite prendra donc alternativement les valeurs  \(\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}\)  pour \(n\)  pair et \(\begin{pmatrix} 5\\-2 \end{pmatrix}\)  pour \(n\)  impair.

3.  \(A^2=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}=I_2\) . Or on sait d'après la propriété du cours que  \(U_n=A^nU_0\) , donc

• pour  \(n=2k\)  pair, on retrouve  \(U_{2k}=U_0\)  ;
  
• pour  \(n=2k+1\)  impair, on retrouve  \(U_{2k+1}=U_1\) .